Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (2024)

  • ↳ Projekt „Mathe für Nicht-Freaks“
  • ↳ Analysis 1

    Inhalte „Analysis 1“

    • Was ist Analysis?Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (2)
    • Was sind reelle Zahlen?Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (3)
    • KörperaxiomeEigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (4)
    • AnordnungsaxiomeEigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (5)
    • Vollständigkeit reeller ZahlenEigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (6)
    • Die komplexen ZahlenEigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (7)
    • Supremum und InfimumEigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (8)
    • Wurzel reeller ZahlenEigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (9)
    • FolgenEigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (10)
    • Konvergenz und DivergenzEigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (11)
    • Teilfolgen, Häufungspunkte und Cauchy-FolgenEigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (12)
    • ReihenEigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (13)
    • Konvergenzkriterien für ReihenEigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (14)
    • PotenzreihenEigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (15)
    • Exponential- und LogarithmusfunktionEigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (16)
      • Herleitung und Definition der ExponentialfunktionEigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (17)
      • Eigenschaften der ExponentialfunktionEigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (18)
      • LogarithmusfunktionEigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (19)
      • Verallgemeinerte PotenzenEigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (20)
      • Exponential- und Logarithmusfunktion in den komplexen ZahlenEigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (21)
      • AufgabenEigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (22)
    • Trigonometrische und Hyperbolische FunktionenEigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (23)
    • StetigkeitEigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (24)
    • AbleitungEigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (25)
    • IntegraleEigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (26)

Dieser Abschnitt ist noch im Entstehen und noch nicht offizieller Bestandteil des Buchs. Gib den Autoren Zeit, den Inhalt anzupassen!

Eine Ungleichung[Bearbeiten]

Satz

Sei Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (31). Dann gilt Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (32).

Beweis

Wir betrachten zwei Fälle.

Fall 1: Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (33)

Sei also Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (34). Es gilt die Bernoulli-Ungleichung, d.h. für alle Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (35) und Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (36) gilt

Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (37)

Es gilt wegen Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (38), dass Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (39) für alle Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (40). Wir setzen nun Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (41). Es folgt

Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (42)

Also:

Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (43)

Fall 2: Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (44)

Sei nun Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (45). Dann gibt es ein Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (46), so dass für alle Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (47) gilt, dass Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (48) und somit Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (49). Damit gilt auch Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (50). Folglich ist

Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (51)

Da Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (52) gilt Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (53).

Ein nützlicher Grenzwert[Bearbeiten]

Nun betrachten wir den Grenzwert Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (54). Dieser ist an vielen Stellen nützlich zum Beispiel bei der Berechnung der Ableitung der e-Funktion.

Um den Grenzwert zu beweisen, brauchen wir zuerst eine Abschätzung:

Satz(Restgliedabschätzung der Exponentialfunktion)

Sei Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (55) mit Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (56) und Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (57), dann gilt

Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (58)

Beweis(Restgliedabschätzung der Exponentialfunktion)

Es gilt wegen der Definition der Exponentialfunktion

Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (59)

Mit dieser Abschätzung können wir nun unseren Grenzwert beweisen:

Satz

Es gilt Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (60). Hierbei ist Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (61) in den komplexen Zahlen gemeint.

Beweis

Wir haben vorher gesehen, dass für alle Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (62) und für alle Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (63) mit Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (64) gilt

Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (65)

Benutzen wir jetzt Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (66), dann folgt für alle Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (67) mit Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (68)

Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (69)

Sei nun Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (70) eine Folge in Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (71) mit Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (72) und Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (73) für alle Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (74).Dann gibt es ein Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (75), so dass für alle Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (76) gilt Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (77).Also folgt für alle Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (78), dass

Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (79)

Somit gilt auch, da Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (80),

Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (81)

Nach dem Sandwich-Theorem gilt dann Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (82).

Da unsere Folge beliebig gewählt war gilt also Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (83)

Funktionalgleichung [Bearbeiten]

In diesem Abschnitt zeigen wir den folgenden

Satz

Für alle Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (85) gilt:

Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (86)

Wie kommt man auf den Beweis?

Dazu benutzen wir die Reihendarstellung der Exponentialfunktion. Die linke Seite ist:

Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (87)

Und die rechte Seite ist

Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (88)

Das ist genau das Cauchy-Produkt von Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (89). Dazu müssen wir wissen, dass die Reihe Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (90) bzw. Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (91) absolut konvergiert.

Für alle Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (92) gilt

Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (93)

und das ist, wie bereits gezeigt, eine reelle Zahl. Also konvergieren die Reihen absolut und damit folgt

Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (94)

Beweis

Zunächst bemerken wir, dass die Reihe Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (95) für alle Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (96) absolut konvergiert. Denn

Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (97)

und die Exponentialfunktion ist wohldefiniert.Es gilt:

Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (98)

Positivität[Bearbeiten]

Satz

Sei Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (99). Dann gilt Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (100).

Beweis

Wir betrachten zwei Fälle.

Fall 1: Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (101)

Sei Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (102). Dann gilt Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (103).

Fall 2: Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (104)

Sei nun Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (105). Nach der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion gilt

Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (106)

Aus dem ersten Fall wissen wir schon, dass Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (107) gilt, denn Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (108).Es folgt also Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (109).

Monotonie[Bearbeiten]

Satz

Die Exponentialfunktion Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (110) ist streng monoton steigend.

Beweis

Seien Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (111) mit Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (112). Dann können wir Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (113) mit Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (114) schreiben. Aus dem vorher bewiesenen Satz bekommen wir also Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (115). Dann folgt mit der Funktionalgleichung:

Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (116)

Stetigkeit der Exponentialfunktion[Bearbeiten]

To-Do:

Diesen Teilabschnitt eventuell verschieben, da die Stetigkeit der Exponentialfunktion vor dem Kapitel zur Stetigkeit bewiesen wird.

In diesem Kapitel beweisen wir die Stetigkeit der Exponentialfunktion

Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (118)

Dazu zeigen wir zunächst, dass die Funktion Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (119) an der Stelle Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (120) stetig ist. Anschließend beweisen wir die Stetigkeit in allen Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (121). Dabei benutzen wir die Stetigkeit in Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (122) und die Regel Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (123) für alle Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (124).

Wie kommt man auf den Beweis?

Wir müssen also zeigen, dass es für ein gegebenes Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (127) ein Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (128) gibt, so dass für alle Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (129) mit Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (130) gilt

Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (131)

Für alle Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (132) gilt:

Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (133)

In einem vorherigen Satz haben wir folgende nützliche Abschätzung für alle Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (134) mit Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (135) bewiesen:

Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (136)

In unserem Fall gilt somit für alle Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (137) mit Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (138), dass

Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (139)

Folglich können wir Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (140) so wählen, dass für alle Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (141) mit Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (142) die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

  1. Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (143), d.h. Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (144)
  2. Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (145), d.h. Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (146)

Also setzen wir Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (147).

Beweis

Sei Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (148). Setze Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (149). Dann gilt für alle Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (150) mit Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (151), dass

Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (152)

Also ist Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (153) in Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (154) stetig.

Satz

Die Exponentialfunktion Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (155) ist stetig.

Wie kommt man auf den Beweis?

Sei Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (156) beliebig. Sei Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (157) eine komplexwertige Folge, die gegen Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (158) konvergiert, d.h. Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (159).

Wir können nun die Folge Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (160) betrachten, wobei wir für alle Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (161) definieren: Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (162). Wegen Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (163) konvergiert die Folge Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (164) gegen Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (165).

Wir wissen bereits, dass die Exponentialfunktion Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (166) stetig in Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (167) ist. Also:

Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (168)

Wir gehen nun zurück zu unserer Folge Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (169). Wir wollen zeigen, dass

Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (170)

Für alle Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (171) gilt

Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (172)

Also:

Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (173)

Folglich ist Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (174) stetig in Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (175). Da Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (176) beliebig gewählt war, ist Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (177) stetig.

Beweis

Sei Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (178) und Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (179) eine Folge in Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (180), die gegen Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (181) konvergiert. Dann gilt

Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (182)

Somit ist die Exponentialfunktion Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (183) stetig.

Bijektivität[Bearbeiten]

Wir haben schon gesehen, dass wir die Exponentialfunktion aufgrund der Positivität als eine Funktion Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (184) in die positiven reellen Zahlen auffassen können.Wir beweisen jetzt die Bijektivität dieser Funktion.

Satz

Die Exponentialfunktion Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (185) ist bijektiv.

Beweis

Weil die Exponentialfunktion streng monoton steigend ist, ist sie insbesondere injektiv. Es bleibt noch die Surjektivität zu zeigen. Sei dazu ein Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (186) gegeben.Wir unterscheiden zwei Fälle:

Fall 1: Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (187)

Es gilt Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (188). Nach dem Zwischenwertsatz gibt es also ein Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (189) mit Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (190).

Fall 2: Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (191)

Nach dem ersten Fall finden wir ein Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (192) mit Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (193). Somit gilt Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (194).

Äquivalenz der Reihen- und Folgendarstellung für komplexe Argumente[Bearbeiten]

Wir haben schon gezeigt, dass für alle Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (195) folgende Gleichung gilt:

Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (196)

Mit den Mitteln, die wir in diesem Kapitel erarbeitet haben, können wir nun einen anderen Beweis für diese Gleichung angeben. Für den Beweis nutzen wir die Funktionalgleichung, die Monotonie der Exponentialfunktion für reelle Argumente und den Grenzwert Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (197).

Satz(Äquivalenz der Reihen- und Folgendarstellung für komplexe Argumente)

Für alle Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (198) gilt

Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (199)

Damit zeigen wir dann auch insbesondere, dass der Grenzwert Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (200) für alle Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (201) existiert. Denn wir haben bereits gezeigt, dass Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (202).

Zusammenfassung des Beweises(Äquivalenz der Reihen- und Folgendarstellung für komplexe Argumente)

Sei Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (203). Wir schreiben zunächst für alle Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (204)

Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (205)

Anschließend zeigen wir, dass man Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (206) schreiben kann als Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (207), wobei Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (208). Außerderdem gilt Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (209). Folglich ist

Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (210)

Wie kommt man auf den Beweis?(Äquivalenz der Reihen- und Folgendarstellung für komplexe Argumente)

To-Do:

Herausfinden, wie man auf diesen Beweis kommt

Beweis(Äquivalenz der Reihen- und Folgendarstellung für komplexe Argumente)

Im Beweis sei für alle Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (212) der Ausdruck Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (213). Sei Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (214). Dann gilt für alle Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (215), dass

Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (216)

Weiter gilt

Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (217)

Wir haben bereits bewiesen, dass Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (218). Wegen Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (219) folgt somit Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (220).

Als nächstes beweisen wir zwei Abschätzungen, die wir in unserer späteren Rechnung brauchen werden.

1. Ungleichung

Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (221)

2. Ungleichung

Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (222)

Somit gilt

Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (223)

Nun können wir alle Teile zusammensetzen.

Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (224)

Damit haben wir gezeigt, dass für alle Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (225) gilt, dass

Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (226)

Ableitung[Bearbeiten]

Logarithmusfunktion

Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (227)

„Analysis Eins“ ist jetzt als Buch verfügbar!

Den Bereich zur Analysis 1 gibt es jetzt auch als Buch! Bestelle dir dein Exemplar oder lade dir das Buch gleich kostenlos als PDF herunter:

Über 150 ehrenamtliche Autorinnen und Autoren – die meisten davon selbst Studierende – haben daran mitgewirkt. Wir wollen, dass alle Studierende die Konzepte der Hochschulmathematik verstehen und dass hochwertige Bildungsangebote frei verfügbar sind. Bei dieser Mission kannst du mitmachen oder uns mit einer Spende unterstützen.

Fragen? Feedback? Interesse an der Mitarbeit?

Wenn du Fragen zum Inhalt hast oder etwas nicht verstanden hast, kontaktiere uns. Wir werden dir deine Fragen gerne beantworten! Auch für Kritik und Anmerkungen sind wir sehr dankbar! Unsere Artikel sind gewissenhaft recherchiert, aber vereinzelte Fehler können nicht ausgeschlossen werden und wir sind sehr dankbar für alle Hinweise. Melde dich auch bei uns, wenn du unsere Vision, Hochschulmathematik verständlich zu erklären, unterstützen möchtest! Unsere Kontaktmöglichkeiten:

Hinweis: Telegram ist ein externer Chatdienst, der nicht von Serlo oder der Wikimedia betrieben wird. Bitte informiere dich selbstständig, ob du mit ihren Datenschutzbestimmungen einverstanden bist.

Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (231)

Dieser Artikel steht unter einer freien CC-BY-SA 3.0 Lizenz. Damit kannst du ihn frei verwenden, bearbeiten und weiterverbreiten, solange du „Mathe für Nicht-Freaks“ als Quelle nennst und deine Änderungen am Text unter derselben CC-BY-SA 3.0 oder einer dazu kompatiblen Lizenz stellst. Auf der Seite „Kopier uns!“ erklären wir dir detailliert, was du bei der Benutzung unsere Texte, Bilder und Videos beachten musst.

Eigenschaften der Exponentialfunktion – Serlo „Mathe für Nicht-Freaks“ – Wikibooks, Sammlung freier Lehr-, Sach- und Fachbücher (2024)

References

Top Articles
Latest Posts
Article information

Author: Moshe Kshlerin

Last Updated:

Views: 6579

Rating: 4.7 / 5 (77 voted)

Reviews: 84% of readers found this page helpful

Author information

Name: Moshe Kshlerin

Birthday: 1994-01-25

Address: Suite 609 315 Lupita Unions, Ronnieburgh, MI 62697

Phone: +2424755286529

Job: District Education Designer

Hobby: Yoga, Gunsmithing, Singing, 3D printing, Nordic skating, Soapmaking, Juggling

Introduction: My name is Moshe Kshlerin, I am a gleaming, attractive, outstanding, pleasant, delightful, outstanding, famous person who loves writing and wants to share my knowledge and understanding with you.